关于培养学生数学猜想能力的思考与实践

　　《数学课程标准》（2011年版）提出："推理一般包括合情推理和演绎推理"，要求"在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力。"数学教学中，要重视学生数学猜想能力的培养，具体的形式有归纳性猜想、类比性猜想、探索性猜想、仿照性猜想等。
　　一、培养学生数学猜想能力的思考
　　1.培养学生数学猜想能力的必要性
　　什么是科学的方法，如果用一句话回答，那么它应该是"猜想与验证"。数学方法理论的倡导者波利亚对猜想作了深入研究，著有《数学与猜想》一书。波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度；在数学教学中必须有猜想的地位；教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。无论如何，教学不应该压制学生中间的发明萌芽。波利亚认为，在有些情况下，教猜想比教证明更重要。牛顿也曾说："没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。"
　　2.数学猜想能力的本质
　　数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合情推理。数学猜想能缩短解决问题的时间，能获得数学发现的机会，能锻炼数学思维。数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题反复思索联想-顿悟提出假说-验证结论。历史上许多重要的数学发现都是经过"猜想"这一非逻辑手段而得到的。
　　3.对数学思维培养的观念更新
　　培养学生的思维能力，引导学生学会数学地思考，是数学教育的核心目标，是数学教育永恒不变的主题。纵观历年来的教学大纲与《数学课程标准》，对于数学思维培养的认识在提高、观念在更新。小学数学教学只重视逻辑思维能力的培养是不够的，还需要发展学生的形象思维和直觉思维。
　　综上所述，大胆猜想、仔细验证是重要的数学学习方法。数学猜想实际上是一种创造性思维，培养学生的猜想能力有利于鼓励学生用多种思维方式思考问题，从而可以更好地培养和激发学生的创造力。
　　二、培养学生数学猜想能力的实践
　　在小学数学教学中，重视学生数学猜想能力的培养，就是要选择合适的题材，把握好教育与训练的时机，让学生经历从具体事例提出猜想的过程，教会学生猜想，进行合情推理，使学生获得探究、发现和论证的体验，从而训练学生的猜想能力。那么，如何在数学教学过程中合理运用与有机渗透呢？下面谈谈我的一些实践和思考。
　　1.归纳性猜想
　　数学家高斯说过："数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续而已。"归纳性猜想是从对个别或特殊的事物的判断，扩大为对同类一般事物的判断，这种思维过程称为归纳性猜想。数学教学中，数学概念的形成和法则的概括以及解题就应体现出归纳思想，要尽量通过观察直观图形，或让学生自己动手借助于实物的讨论，在有了丰富感性认识的基础上提出猜想，进而归纳出相应的法则、性质和公式。小学数学中的许多概念、法则、公式都是通过对部分数学事实进行观察、比较、分析、综合，从中归纳出一般的结论。在新知教学中，要充分展示发现新知的探究过程，充分展现获取新知的思维过程，给学生充分的探索、归纳、发现的机会，培养学生的"归纳性猜想"。
　　2.类比性猜想
　　波利亚在《怎样解题》中说："在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答。"类比性猜想是根据两个或两类对象之间在某些方面（如特性、属性、关系）的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想。常见的类比有直线与平面的类比、平面和空间的类比、数和形的类比、加减和乘除的类比、有限和无限的类比、个体和整体的类比。教学中，我们既要让学生敢于进行类比，不怕失败；同时还要正确地指导学生进行合理类比，讲清原则和作用。引导学生用类比推理作出合理猜想，再用严格的逻辑推理加以验证，这是我们数学发现和解决问题的基本而重要的思想方法。在新知教学过程中，对于新旧知识紧密联系的内容，抓住新旧知识的连接点，创设一定的问题情境，要引导学生充分调动原有知识和经验，使学生能借助旧知产生正迁移，凭借"猜想-验证"的途径，先建立"类比性猜想"，然后从不同角度来验证猜想，利用类比性猜想来创造新知，体会数学知识间的联系。
　　案例一："圆柱体积公式计算"的教学片段与反思
　　片段一创设情景，感知圆柱体积的概念。
　　教师拿出一个装了半杯水的烧杯，拿出一个圆柱形的物体，准备投入烧杯中。
　　师：同学们想一想会发生什么情况？（教师将圆柱形的物体投入水中）请仔细观察后，说一说你有什么发现？
　　生1：水面上升了一些。生2：圆柱形的物体挤掉了原来水占有的空间。生3：圆柱体占有一定空间。
　　师：我们通常把这个空间叫体积。
　　生：我发现上升的水的体积和圆柱的体积是相等的。
　　师：同学们发现得都很精彩，谁来说一说什么叫圆柱的体积。
　　生：圆柱所占空间的大小就叫圆柱的体积。
　　片段二比较大小，创设猜想圆柱体积的情景。
　　教师又拿出一个圆柱（底面略小而高长一些，体积相差不多）。
　　师：这两个圆柱的体积，哪个比较大一些？
　　生1：第一个比较大，因为它高一些。生2：第二个比较大，因为它粗一些。生3：他们都是猜的。第一个圆柱它虽然高一些，但底面积小一些；第二个圆柱虽然底面大一些，但它的高少了一些，所以无法准确地比较它们的大小。
　　师：有什么办法能比较它们的大小呢？（小组讨论）
　　生：准备半杯水，将第一个圆柱浸没水中，做好标志，再把第二个圆柱浸没水中，做个标志，哪个水面上升得高一些，哪个圆柱的体积就比较大。
　　师：这个方法好。如果要准确地知道哪个圆柱的体积大，大多少，你有什么好办法？（小组讨论）
　　生：要是学会了计算圆柱的体积就好解决了。
　　片段三类比猜想，感知圆柱的体积计算公式。
　　师：你觉得圆柱体积的大小和什么有关？
　　生1：和圆柱的高有关，一个圆柱它的高增加，它的体积也会变大些。
　　生2：和圆柱的底面大小有关，一个圆柱的底面增加，它的体积也会变大些。
　　师：很好！大胆地推想一下圆柱的体积应如何计算？（小组讨论）
　　生：我猜想用圆柱的底面积乘以它的高就可以求出体积。
　　师：你同意他的猜想吗？说说你的理由。
　　生1：我觉得他的想法很有道理，因为圆柱体可以看作是有很多个相同的圆叠加起来的。
　　生2：我也觉得有道理，因为长方体和正方体的体积公式也是底面积乘以高。
　　片段四仔细验证，推导圆柱的体积计算公式。
　　师：同学们都会大胆猜想，但还要小心地论证猜想的科学性。
　　教师拿出一个圆柱体教具，把它藏在衣服里，只露出一个底面。
　　师：你看到了什么？
　　生：圆形。
　　师：你还记得圆是转化成什么图形的面积来求它的面积公式的吗？
　　生：把圆的面积转化成长方形的面积。
　　教师把整个圆柱拿出来，问：怎么求这个圆柱的体积呢？（小组讨论）

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